Vektoren

Lernziele

• Du weisst, was ein Vektor ist und was ihn von einem Punkt unterscheidet.
• Du kannst Vektoren in Komponenten darstellen, addieren und mit Zahlen multiplizieren.

Verschiebungen als Objekte

Ein Vektor ist eine Verschiebung: «3 nach rechts, 2 nach oben». Er hat eine Richtung und eine Länge — aber keinen festen Ort. Dieselbe Verschiebung kann überall in der Ebene ansetzen; gezeichnet wird sie als Pfeil, und alle gleich langen, gleich gerichteten Pfeile meinen denselben Vektor.

In Komponenten schreiben wir:

$\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

Das unterscheidet sich fundamental von einem Punkt: $P(3|2)$ ist ein Ort, $\vec{a} = \binom{3}{2}$ ist ein Weg. Die Brücke zwischen beiden ist der Ortsvektor: Der Vektor $\vec{OP} = \binom{3}{2}$ ist die Verschiebung vom Ursprung nach $P$.

Der Verbindungsvektor

Der Vektor von $A(1|2)$ nach $B(4|3)$: Wie komme ich von $A$ nach $B$? In $x$-Richtung $4-1 = 3$, in $y$-Richtung $3-2 = 1$:

$\vec{AB} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 3-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} \qquad \text{allgemein:} \qquad \vec{AB} = \begin{pmatrix} b_x - a_x \\ b_y - a_y \end{pmatrix}$

Merkregel: «Spitze minus Fuss» — die Koordinaten des Zielpunkts minus die des Startpunkts.

Rechnen mit Vektoren

Addition heisst: Verschiebungen nacheinander ausführen. In Komponenten einfach komponentenweise addieren:

$\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

Zeichnerisch: Den zweiten Pfeil an die Spitze des ersten hängen.

Skalarmultiplikation heisst: die Verschiebung strecken. $2\vec{a}$ ist doppelt so lang, $-\vec{a}$ zeigt in die Gegenrichtung:

$2 \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \qquad \qquad -\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$

Betrag (Länge) eines Vektors — Pythagoras:

$\left| \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

Kurz geprüft

Warum das Ganze?

Vektoren verwandeln Geometrie in Rechnung. Ein Beispiel als Vorgeschmack — der Mittelpunkt einer Strecke $AB$:

$\vec{OM} = \frac{1}{2}\left(\vec{OA} + \vec{OB}\right)$

Für $A(1|2)$ und $B(5|8)$: $\vec{OM} = \frac{1}{2}\binom{6}{10} = \binom{3}{5}$, also $M(3|5)$. Keine Zeichnung nötig — und die Formel funktioniert unverändert auch im Raum mit drei Komponenten. Genau darin liegt die Kraft der Vektorgeometrie.

Aufgaben

Gegeben: $A(3|1)$, $B(-1|4)$, $C(5|7)$.

1. Berechne $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ und $\vec{AC}$. Prüfe: $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$?
2. Berechne $|\vec{AB}|$.
3. Bestimme den Mittelpunkt von $AC$.
4. $ABCD$ soll ein Parallelogramm sein (Ecken in dieser Reihenfolge). Bestimme $D$ mit einer Vektorüberlegung.