Vektoren

Lernziele

Sie können erklären, was ein Vektor ist: eine Verschiebung, dargestellt durch einen Pfeil.

Sie erkennen, wann zwei Pfeile denselben Vektor darstellen.

Sie kennen den Betrag, den Gegenvektor und den Nullvektor.

Ein Vektor ist eine Verschiebung

Stellen Sie sich vor, Sie schieben ein Dreieck auf einem Blatt Papier, ohne es zu drehen. Jeder Punkt des Dreiecks bewegt sich dabei gleich weit und in dieselbe Richtung.

Alle drei Pfeile beschreiben dieselbe Verschiebung: den Vektor v.

Die drei Pfeile von $A$ nach $A'$ , von $B$ nach $B'$ und von $C$ nach $C'$ sehen genau gleich aus: gleich lang, gleich gerichtet. Sie beschreiben alle dieselbe Verschiebung. Diese Verschiebung nennen wir einen Vektor und schreiben $\vec{v}$ .

Vektor

Ein Vektor ist eine Verschiebung. Er ist festgelegt durch

seine Richtung (wohin?) und

seine Länge (wie weit?).

Einen Vektor stellt man durch einen Pfeil dar. Jeder Pfeil mit derselben Länge und derselben Richtung stellt denselben Vektor dar. Wo der Pfeil beginnt, spielt keine Rolle.

Ein Vektor hat also keinen festen Ort. Sie dürfen seinen Pfeil überall hinzeichnen, solange Länge und Richtung stimmen.

Bezeichnungen

Vektoren schreiben wir mit kleinen Buchstaben und einem Pfeil darüber: $\vec{a}$ , $\vec{b}$ , $\vec{v}$ .
Der Pfeil von Punkt $A$ nach Punkt $B$ heisst $\vec{AB}$ . Den Punkt $A$ nennen wir Schaft (Anfang), den Punkt $B$ Spitze.

Im Bild oben gilt also:

\vec{v} = \vec{AA'} = \vec{BB'} = \vec{CC'}

Drei verschiedene Pfeile, aber ein einziger Vektor.

Selbst ausprobieren

Ziehen Sie am Kreis am Anfang des Pfeils: Der ganze Pfeil wandert mit, Länge und Richtung bleiben gleich. Ist es noch derselbe Vektor? Ziehen Sie dann am Kreis an der Spitze: Was ändert sich jetzt? Tippen Sie zum Schluss auf eine freie Stelle: Dort erscheint ein weiterer Pfeil von $\vec a$ .

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Betrag: die Länge eines Vektors

Die Länge eines Vektors heisst Betrag. Man schreibt sie mit senkrechten Strichen:

|\vec{v}| = \text{Länge des Pfeils von } \vec{v}

Der Betrag ist eine Zahl, kein Vektor. Er ist nie negativ. Auf Karopapier mit Häuschenlänge $1$ berechnen Sie ihn mit dem Satz des Pythagoras: Geht ein Pfeil $\textcolor{orange}{4}$ Häuschen nach rechts und $\textcolor{dodgerblue}{3}$ Häuschen nach oben, dann gilt:

\begin{aligned} |\vec{v}|^2 &= \textcolor{orange}{4}^2 + \textcolor{dodgerblue}{3}^2 \\[8pt] &= 16 + 9 \\[8pt] &= 25 \\[8pt] |\vec{v}| &= \sqrt{25} = 5 \end{aligned}

4 Häuschen nach rechts und 3 nach oben: Der Pfeil ist die Hypotenuse und 5 Häuschen lang.

Gegenvektor und Nullvektor

Gegenvektor

Der Gegenvektor $-\vec{a}$ ist gleich lang wie $\vec{a}$ , zeigt aber in die entgegengesetzte Richtung. Er macht die Verschiebung $\vec{a}$ rückgängig.
Für Pfeile zwischen zwei Punkten heisst das: Man vertauscht Schaft und Spitze.
$-\vec{AB} = \vec{BA}$

Nullvektor

Der Nullvektor $\vec{0}$ ist die Verschiebung, die nichts bewegt. Sein Pfeil hat die Länge $0$ , also $|\vec{0}| = 0$ . Er hat keine bestimmte Richtung.
Zum Beispiel ist $\vec{AA} = \vec{0}$ : Von $A$ nach $A$ muss man sich nicht bewegen.

Kurz geprüft

Vektor und Punkt sind nicht dasselbe

Ein Punkt ist ein Ort: «die Ecke des Tisches». Ein Vektor ist ein Weg: «einen Meter nach links». Den gleichen Weg können Sie von jedem Ort aus gehen. Diese Unterscheidung brauchen wir später, wenn wir mit Koordinaten rechnen.

Weiter

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