Lernziele
- Sie wissen, was die Logikgates tun und kennen ihre Wahrheitstabellen und Symbole. (Die mathematische Notation müssen Sie nicht auswendig lernen.)
- Sie können aus einfachen logischen Schaltungen eine Wahrheitstabelle ableiten.
- Sie können eine logische Schaltung für einen Halbaddierer und einen Addierer mit den korrekten Symbolen zeichnen und nachvollziehen.
- Sie können erklären, wie man grössere Zahlen mit mehreren Addierern zusammenzählen kann (Multibit-Addierer).
Ihr Computer ist eine Rechenmaschine, die auf purer Logik aufgebaut ist. Es gibt keine Magie, kein “Geist” in der Maschine - alles ist von Grund auf nachvollziehbar. In dieser Lektion bauen wir einen Rechner, der zwei binäre Zahlen addieren kann.
Im Folgenden machen wir uns daran, einen Addierer zu bauen. Damit Sie die Übersicht nicht verlieren: Wir werden zuerst
- aus Transistoren die nötigen Logikgates bauen
- und dann aus diesen Logikgates den Addierer.
Der wichtige Teil für Sie ist Nummer 2: Wie man aus Logikgates einen Addierer baut. In der Sprache von Modulen gesprochen:
- Sie müssen Logikgates nur nutzen können (die Schnittstelle genügt, die Funktionsweise müssen Sie sich nicht merken).
- Sie müssen den Addierer mit Logikgates implementieren können (also die Funktionsweise wirklich verstehen).
1. Aus Transistoren bauen wir Logikbausteine
Im Nand-Game können Sie folgende Logikgates von Grund auf aus “Relais” bauen. Heutzutage werden diese Gates aus Transistoren
mit Halbleitern gebaut, was den entscheidenden Vorteil hat, dass sie keine beweglichen Teile haben und deswegen viel schneller, kleiner und energieeffizienter sind. Dieser Teil wird in diesem Video erklärt.
Die Logikgates, die Sie kennen sollten, sind folgende:
2. Aus Logikbausteinen bauen wir den Rechner
Intuitive Annäherung
Führen Sie sich folgende binäre Addition von zwei Bits vor Augen. Achtung: Wir sind im Binärsystem
!
Ich habe immer zwei Stellen beim Ergebnis hingeschrieben, damit wir uns folgendes überlegen können: Was ist die Logik beider Stellen?
Überlegen Sie sich nun die Logik:
- Wann gibt es bei den 2ern (blau) eine 1 im Ergebnis?
- Wann gibt es bei den 1ern (grün) eine 1 im Ergebnis?
Lösung
- Bei den 2ern gibt es eine 1, wenn A und B 1 sind.
- Bei den 1ern gibt es eine 1, wenn nur A oder nur B 1 sind.
Umsetzung
Dieser Teil wird in diesem Video erklärt.
Halbaddierer (und wieso das nicht reicht)
Wir haben zuerst einen sogenannten Halbaddierer gebaut, der zwei Bits “A” und “B” zusammenzählt, wie oben bei der Rechnung. “Low” ist die tiefere Stelle, “high” die höhere Stelle.
Damit können wir nur eine einzelne Stelle einer binären Zahl addieren. Für eine Addition von längeren Zahlen müssten wir
Schauen Sie sich dazu folgende schriftliche Addition zweier Binärzahlen an:
Man könnte denken, dass man die 1er, 2er, 4er und 8er nacheinander mit dem Halbaddierer addieren kann - es sind ja jeweils zwei Bits.
| Stelle | Rechnung | Ergebnis |
|---|---|---|
| Bei den 1ern geht das: | 1+0 | = 1 |
| Bei den 2ern auch: | 0+1 | = 1 |
| Aber die 4ern machen Probleme! | 1+1 | = 10 |
| Sie würden das als Mensch mit einem “Behalte” auf die nächste Stelle lösen. Auf Englisch wird das “Carry” genannt, deswegen schreiben wir im Folgenden “C”. Überlegen wir uns also die Rechnung: |
- Bei den 4ern würden Sie also 0 ins Ergebnis schreiben, aber ein Behalte 1 in die nächste Stelle - die 8er (blauer Pfeil).
- Bei den 8er hätten Sie dann entsprechend drei Einsen, die Sie addieren.
Sie sehen: Um zwei Binärzahlen mit mehreren Stellen addieren zu können, müssen wir pro Stelle nicht zwei sondern drei Bits addieren können: wegen dem “Behalte”. Und das macht der Addierer (oder Volladdierer).
Mit Abstraktion zum Addierer
Um die Schaltung für den (Voll-)Addierer zu verstehen, schlage ich vor, dass Sie auf dem Halbaddierer aufbauen und seine Funktionsweise total ausblenden. Überlegen Sie sich den Halbaddierer als eine Box, die zwei Inputs zusammenzählt:
- Wenn beide Inputs 1 sind, kommt beim “high” 1 raus.
- Wenn nur einer der Inputs 1 ist, kommt beim “low” 1 raus.
- Wenn keiner der Inputs 1 ist, kommt nirgends eine 1 raus.
Jetzt wollen wir dazu einfach noch einen weiteren Input
- Wenn das “h” des ersten Halbaddierers 1 ist, sind die Inputs A und B beide 1. Wir können uns also sicher sein, dass das Signal irgendwie zum “HIGH” der gesamten Schaltung muss - weil wir haben bereits den Zahlenwert zwei.
- Wenn beim “l” des ersten Halbaddierers 1 rauskommt, war entweder A oder B 1 und wir können das als normalen Input betrachten! Wir können “l” mit einem zweiten Halbaddierer mit C zusammenrechnen.
Überlegen wir uns die Outputs des zweiten Halbaddierers:
- Wenn das “h” beim zweiten Halbaddierer 1 ist, kam von entweder A oder B 1 und von C eine zusätzliche 1. Das Signal muss weiter zum “HIGH” der gesamten Schaltung - weil wir haben den Zahlenwert zwei.
- Wenn das “l” des zweiten Halbaddierers eins ist, heisst das, er hat nur eine 1 empfangen. Das muss also zum “LOW” der Schaltung.
Eine Schwierigkeit ist noch, dass entweder vom ersten oder vom zweiten Halbaddierer ein Signal kommen kann und beide müssen zum “HIGH” der gesamten Schaltung. Wie hängen wir das zusammen? Nun, die Logik ist bereits im Satz: mit einem OR-Gate.
Wenn Sie das nun ohne unsere abstrakten Boxen zusammenstecken wollen, müssen Sie sich überlegen, was denn nochmal in den Halbaddierern steckt. Voilà, Sie haben einen Volladdierer gebaut!
Multibit-Addierer
Wir haben nun einen Addierer gebaut, der drei Inputs zusammenrechnen kann. Das heisst: Wir können nun die schriftliche Addition von Binärzahlen automatisieren!
Hier ein Beispiel, wie sie vier Addierer zu einem Multibit-Addierer zusammenhängen würden, um 13+5 zu rechnen.
Hier der Mutlibit-Addierer in Action!